提到KNN（K-Nearest Neighbors），大家的第一印象大概是它是比较简单且易于实现的有监督算法，既可以解决分类问题，也能解决回归问题。
尽管KNN已不是时代的主流，但深入了解它的基本原理还是有必要的。大家可以通过下面几个问题来看看自己对KNN的理解情况：
1. KNN基本原理是什么？
2. 如何确定k？
3. 如何选择距离度量方法？不同距离度量方法对数据集有哪些要求？
4. KNN如何实现距离加权？
5. 多数类投票的优化目标等价是什么？
6. 均值回归的优化目标是什么？
7. 什么是KD树，为什么KD树能加快KNN的检索效率？
8. KD树如何构造？
9. KD树如何检索？
如果以上问题你都能轻松回答，那本文后续的内容可以帮助你加强知识记忆。如果对上述问题有疑惑，那本文后续内容将会帮助你进一步加深对KNN的理解。
在看算法具体细节之前，我个人建议是先了解下它是怎么来的。本文先简单介绍KNN的历史，然后介绍算法的基本原理，之后针对如何加快KNN的检索效率，介绍KD树相关内容。
一、KNN简史
1951年，Evelyn Fix和Joseph Lawson Hodges Jr. 最早提出了最近邻规则。但由于当时社会环境问题，他们并未发表这方面的工作。
1962年，George S Sebestyen在《Decision-making processes in pattern recognition》中将KNN称作邻近算法（Proximity Algorithm）。
1965年，Nils J. Nilsson在《Learning Machines: Foundations of Trainable Pattern-Classifying Systems》中将KNN称作最小距离分类器（Minimum Distance Classifier）。
1967年，Thomas Cover和Peter Hart在论文《Nearest neighbor pattern classification》中正式介绍了KNN，这也是KNN的首次正式发表。
在KNN提出之后，后续的研究工作主要集中在两个方面：效率和效果
效率优化：KNN比较适用于样本量较大的问题，样本量较小的问题采用KNN比较容易产生误判。因此，事先对样本特征进行约减，删除对分类结果影响较小的属性，便成了KNN效率优化的一个主要方向。2006年，Zhang等人在论文《SVM-KNN: Discriminative nearest neighbor classification for visual category recognition》中提出基于SVM和KNN在相似性度量框架中考虑视觉类别识别。在2007年，Zhang等人在论文《ML-KNN: A lazy learning approach to multi-label learning》中针对有限的数据设计了针对多标签数据的KNN算法。2009年，Chen等人在论文《Fast Approximate kNN Graph Construction for High Dimensional Data via Recursive Lanczos Bisection》中利用两种divide and conquer方法来近似KNN的计算。
效果优化：效果优化的核心目标是提升KNN的分类精度。1986年，Stanfill和Walt在《Toward memory-based reasoning》中采用价值距离指标（Value Distance Metric/VDM）。Han等人于1999年在《text categorization using weight adjusted k-nearest neighbour classification》中针对文件分类实做可调整权重的k最近邻居法WAkNN (weighted adjusted k nearest neighbor)，以提升KNN的分类效果。2004年，Li等人认为不同分类的文件本身有数量上有差异，因此应该按照训练集合中各种分类的文件数量，对KNN选取不同的k。2004年，Goldberger等人在《Neighbourhood components analysis》（NCA）中将马氏距离应用于KNN中，实现降维的效果。NCA主要目的是通过找到一个线性变化矩阵，来最大化leave-one-out (LOO)分类精确度。
以上是对KNN发展的简介，从最开始的思想萌发，到后续的效率和效果的不断优化，研究人员们持续了近60多年的探索。值得一提的是：虽然KNN已经渐渐淡出大众视野，但它仍然是大多数领域首选Baseline。
二、算法介绍
下面我们开始进入KNN算法的具体细节。
1、算法原理
KNN是一种分类、回归算法，既可用于解决分类问题，又可用于解决回归问题，其核心思想可以概括如下：
分类问题：对于样本，根据其个距离最近的训练样本的类别，采用多数类投票方式来预测的类别 回归问题：对于样本，根据其个距离最近的训练样本标签的均值作为的预测结果
KNN的核心三要素如下：
的选取 距离度量 决策规则
与传统机器学习算法不同，KNN属于lazy learning
算法，它不具有显式学习的过程（即不需要对模型进行训练），对于待预测样本，直接根据训练集进行预测。
lazy learning
：开始时算法将训练样本储存好，并不会根据训练样本来优化模型。到预测阶段，算法才会分析待预测样本与训练样本之间的关系，来判定待预测样本的预测值结果eager learning
：在训练阶段，算法先利用训练数据训练一个预测模型。到预测阶段，算法会利用预测模型对待预测样本进行打分
此外，KNN属于非参数学习算法（是超参数，无需训练）。由于KNN具有非常高的容量（Capacity），它在具有较大数据集上能达到较高的精度。
但，KNN具有如下三个比较明显的缺点：
传统KNN的计算成本高，时间复杂度为 训练集较小时，泛化能力很差，容易过拟合 没法判断特征重要性
2、k的选取
对于不同数据集，值没有一个通用的确定方法。但在实际应用中，一般选择一组比较小的值（如，3、5、7、9等），再采用交叉验证法来最终确定最优的。
需要说明的是：的大小会直接决定了模型的复杂度：
值较小时，对应模型的复杂度较高，相当于利用较小邻域的训练样本进行预测，学习的偏差较小；由于只有邻域内的训练样本会对预测结果起作用，预测结果会对近邻的样本点非常敏感，这样导致学习方差较大。因此，减小值意味着模型变复杂，也就易发生过拟合
值较大时，对应模型的复杂度较低，相当于利用较大邻域的训练样本进行预测，学习方差较小；但由于较远的训练样本也会对预测结果起作用，学习偏差较大
决定了模型的复杂度，当数据集较复杂、数据量较多时可以选择较小的，反之如果数据相对简单、数据量较小，可以选择相对较大的。
3、距离度量
KNN另一个核心问题是如何在特征空间中确定近邻样本，即如何度量样本间的距离。
关于距离度量大家可以参考我之前的一篇公众号文章《19种距离度量方法》，里面总结了常用的19种距离度量方法。
不同的距离度量所确定的最近邻点是不同的，这里只简单介绍下距离：
其中，为维特征空间的两个样本点
当时，表示欧氏距离 当时，表示曼哈顿距离 当是，表示切比雪夫距离（各维度差异的最大值）
4、预测规则
A) 分类决策
KNN在做分类时，通常采用多数类投票；也可以根据距离远近加权：距离越近则样本的权重越大。
多数类投票：
其中，表示的第个近邻样本的label。最终决策为：
距离加权：
距离加权投票的决策为
其中，权重可以根据样本与训练近邻样本的距离决定，距离越近权重越大，越远则权重越小：如
可以通过数学证明：多数类投票方法等价于经验风险最小化（感兴趣的可以自己证明一下）
B) 回归决策
采用KNN做回归任务时，通常采用均值回归；也可以根据距离远近加权：距离越近则样本的权重越大。
均值回归：
其中，表示的第个近邻样本的标签值。
距离加权：
同样可以通过数学证明：均值回归等价于经验风险最小化（感兴趣的可以自己证明一下）
三、KD树（K-Dimensional Tree）
KNN在应用中的一个核心问题是：如何在训练数据中快速进行邻搜索。
最简单的办法是直接进行线性扫描
：针对输入样本，计算其与每个训练样本的距离，最终得到最近的个训练样本。但这种方法耗时高（时间复杂度）、效率低，当训练集较大时，无法满足应用需求。
KD树是一种高维数据的快速查询结构（二叉树），能对k维空间的样本点进行存储和快速检索。因此，通常采用KD树来实现对近邻样本的快速检索，使KNN的查询时间复杂度降至。下面我们具体了解下KD树算法。
1、KD树构造
KD树的构建算法如下：
对应python
代码如下：
def kd_tree_build(points, dim, l=0):
if len(points) > 1:
points.sort(key=lambda x: x[l])
l = (l + 1) % dim # py中维度下标是从0开始的
half = len(points) >> 1
return [
kd_tree_build(points[:half], dim, l), # left
kd_tree_build(points[half+1:], dim, l), # right
points[half] # current_node
]
elif len(points) == 1:
return [None, None, points[0]]
KD数的构造过程如下：
图片来源：Hierarchical data representation structures for interactive image information mining
2、KD树搜索
KD树的查询算法如下：
对应python
代码如下：
def kd_tree_search(node, point, k, dim, dist_func, l=0, heap=None):
is_root = not heap
if is_root:
heap = []
if node is not None:
dist = dist_func(point, node[2])
diff = node[2][l] - point[l]
if len(heap) < k:
heapq.heappush(heap, (-dist, node[2]))
elif dist < -heap[0][0]:
heapq.heappushpop(heap, (-dist, node[2]))
l = (l + 1) % dim
for b in [diff < 0] + [diff >= 0] * (diff * diff < -heap[0][0]):
kd_tree_search(node[b], point, k, dim, dist_func, l, heap)
if is_root:
neighbors = sorted((-h[0], h[1]) for h in heap)
return neighbors
其中dist_func
是距离度量函数，如下面的欧氏距离，更多距离度量方法可以参考之前的公众号文章：《19种距离度量方法》
import numpy as np
def euclidean_dist(x, y):
n_x = np.array(x)
n_y = np.array(y)
return np.sqrt(np.sum(np.square(n_x - n_y)))
参考文献
[1] E. Fix and J.L. Hodges. An Important Contribution to Nonparametric Discriminant Analysis and Density Estimation. 1951
[2] Who invented the nearest neighbor rule? http://37steps.com/4370/nn-rule-invention/
[3] George S Sebestyen. Decision-making processes in pattern recognition. 1962
[4] Nils J. Nilsson. Learning Machines: Foundations of Trainable Pattern-Classifying Systems. 1965
[5] C. Stanfill and D. Waltz. Toward memory-based reasoning. Communications of the ACM, vol. 29, pp. 1213-1228, 1986.
[6] https://github.com/Vectorized/Python-KD-Tree
