写在之前：此文为整理李江关于Power-Law的文章，已授权。
当我做NLP的时候，我曾经惊叹于Zipf’s law的神奇；后来写多了代码，发现80/20法则果然无处不在，80%的代码其实只是为了那20%的功能；当然，我也熟知长尾理论，它在今天的搜索引擎，电子商务中发挥着巨大的作用。而直到我开始做社交网络的数据分析，接触到一部分相关的理论，我才发现上述的这些理论/法则原来都是统一的，它们在数学上有个一致的定义，就是Power Law（冥律分布）。
什么是Power Law
这个函数，就是冥律分布的数学表达式。它其实是一种次方的关系。
特别关键的是，当k<1的时候，函数的图形如下：
当x偏小的时候，微小的x的变化，会导致函数曲线发生巨大的变化。而在x轴的另一端，曲线缓缓的收敛到0。注意“缓缓”这个词非常的重要，我们后面再谈。
社交网络中的Power Law
power law在生活中无处不在，如果想了解更多的power law现象，可以看这里。本文只侧重于社交网络中的power law。
社交网络中最重要的一个冥律分布，是关于用户的好友数。如果将某个社交网络中所有人的好友数进行一个统计，那么这个统计符合冥律分布。抽象一些说，如果将社交网络看成一张图，那么图中每个节点的度数符合冥律分布。这是社交网络结构最重要的一个特性。目前几乎所有的社交网络都符合这一点（包括我自己实际观察到的）。
这个特性表示，网络中大多数节点的度数都很小，即好友数很少（分布图的左侧），但同时，有少量的节点，它们的度数可以非常的高（分布图的右侧）。
除此以外，如果网络中有内容，比如微博，那么对所有微博的转发量进行统计，它的分布也会满足power law。即大部分的微博转发量都会很小，可能大部分都小于10，甚至5。但是存在少量的热门内容，它们的转发量惊人的高。
为什么会是Power Law
想象一下，如果我们有很多的节点，随机的任取两个节点连接起来，最终形成了一个巨大的网络。这样随机构造的网络，它的节点度数的分布将是泊松分布（possion distribution）:
这个图意味着，在这个网络中，大部分节点的度数应该是处于中间的某一个值。度数过小或者度数过大的节点数都非常的少。
特别需要说明的是，泊松分布和冥律分布相比，虽然看上去，它们分布图的右侧都是收敛到0，但是，泊松分布的收敛速度非常快，很快就会趋近于0。而冥律分布相比要缓慢得多，这就是为什么我之前用“缓缓”这个词的原因。通俗解释，在泊松分布中，度数很大的节点几乎没有；而在冥律分布中，存在少量的度数很大的节点。
随机的思路走不通，换另一种方式构造网络：当网络中每添加一个新的节点的时候，这个节点更容易和当前度数高的节点连接。换句话说，网络中度数高的节点更容易“吸引”新的链接。
实验证明，这种方式得到的网络真正的符合Power Law。网络中大多数节点的度数都很低，但是有少部分节点，因为它们吸引链接的能力强，所以得到了越来越多的链接，而更多的链接导致它们的吸引力更强（富者更富），从而成为了分布图右侧的度数很高的超级节点，也称为中心节点。
所以，符合power law的社交网络并不是一个随机形成的网络。恰恰相反，虽然网络形成的过程会非常的复杂和多样，但却是在某种特定的法则(这种富者更富的现象也被称为Preferential attachment)约束下产生的。形成后的网络，少量但非常重要的中心节点支撑起了网络的框架，而在这框架下，是大量的度数少的普通节点。
所有节点度数分布符合power law的网络也被称为scale-free network，中文似乎翻译为“无尺度网络”。而由于这些中心节点的存在，会产生一个现象，就是scale-free network的网络直径一般都很小。换个通俗的名称，就是我们常说的“小世界”或者“六度空间”。我曾经计算过一个千万节点的社交网络的直径：随机的选择一些用户，看他们在几步内能够遍历到网络中99%的节点。最后，所有抽取用户的这个值都在5-8之间，而平均结果为5.99，和“六度空间”惊人的匹配。
其它
最近微博上有篇很有意思的文章：“研究Facebook会发现，平均一个用户有190个好友，而他们的朋友平均有635个好友。”，也就是说，你的好友的平均好友数会比你的好友数要高（有些绕口）。这事解释其实非常的简单，因为你（网络中的某个节点）一定会和几个网络中的中心节点相连接，而这些中心节点的好友数都是非常高的，这些值会将好友的平均好友数拔高，让你产生出这种错觉。
这反映一个更深层次的问题，就是在评价冥律分布的时候，不要采用平均值而应该采用中位数。在我研究的那个社交网络中，平均好友数能达到40+，而中位数只有14。
反思Power-Law
这段时间，一直都有个大大的问号困扰着我。我们总说，Power-Law无所不在，这也是Power-Law，那也是Power-Law，但是，我们是否有真正的去度量？还是仅仅凭着log-log plot上一条似是而非的直线，就认为满足Power-Law分布呢？
上图是一个真实Social Network的degree distribution。这样的曲线，我们好意思说它满足Power-Law吗？双log坐标的自身特性会将在坐标值很大区间内的抖动压缩得很不起眼，看起来平滑得像条直线，可是，真的有那么直吗？
我又找了一个看起来更漂亮的图（某paper上截取的）：
它应该更像是Power-Law，可是验证过了吗？谁去计算过α是多少？k是多少？如果用一个Power-Law曲线去拟合，误差有多大？除了Power-Law，是否可以找一个更复杂的曲线但能够更好的拟合呢？
我们现在常常将“长尾”，“二八法则”等同于Power-Law。但是，无论是“长尾”还是“二八法则”，其实都是比较模糊的性质，而满足这些性质的曲线有很多种，凭什么说都是Power-Law？
换个角度讲，Power-Law有那么重要吗？观察现实中的数据，很多都具有长尾特性，但知道这一点就够了。真的需要这些数据和Power-Law有完美的拟合吗？
最近看了一篇文章（点击“阅读原文”即可查看），里面的观点我大为赞同，不吐不快。以后还是少用Power-Law这个词，多用Long-Tail。
参考：
[1]: https://greatpowerlaw.wordpress.com/2012/09/23/why-power-law
[2]: https://en.wikipedia.org/wiki/Power_law
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