• 1.1 点积的计算公式

• 1.2 点积的几何意义

• 1.2.1 从二维到一维

• 1.2.2 从平面到数轴

• 1.3 向量与线性变换

• 2.1 二维的叉积

• 2.2 向量的叉积和矩阵的行列式

• 2.3 叉积的真正计算方法

• 2.4 叉积计算的几何意义

• 2.4.1 推理过程的说明

• 2.4.2 平面叉积的外推

• 2.4.3 从三维到一维

• 2.4.4 叉积的对偶性

• 2.4.5 特殊向量的坐标

• 2.4.6 向量的另一几何意义

1. 向量的点积（dot product)

1.1 点积的计算公式

1.2 点积的几何意义

在二维空间中，两个向量的点积相当于其中向量的长度乘以向量在方向上的投影长度。

所以，当两个向量方向相同时，点积为正；互相垂直时，点积为0，方向相反时，点积为负。

并且，点积运算中，向量的顺序不重要，也就是。

1.2.1 从二维到一维

所以点积的几何意义为什么是投影长度的相乘？

首先投影的本质是向量从二维平面到一维数轴的映射（mapping）。

向量的映射，即向量所存在的空间的映射。也就是空间从二维塌缩（collapse）至一维。

原本二维空间中的基向量和都变成了一维向量，所以由基向量决定的其他向量也随之降维。

• 例如：

  从变成了[1]，

  从变成了[-2]；

  原先空间中的向量,

  在投影后，向量依然是有基向量和所决定，所以有

其实这与矩阵向量乘法差不多，只不过之前是2x2矩阵，现在变成了1x2矩阵

但是这个计算过程，在结果上又等同于两个向量的点积，只需把前面的1x2矩阵变成一个2x1的向量。

1.2.2 从平面到数轴

首先在二维平面中定义任意一个数轴，把这个数轴的基向量定义为。

如果我们要求二维平面中任一向量在这个数轴上的投影，那么我们只需知道二维平面中基向量和在数轴上的投影，即可根据前述内容进行计算。而这个问题可以通过对称性直观地解决：

由图可知，基向量和在数轴上的投影即数轴基向量在二维坐标轴上的投影，也就是向量的坐标。

所以二维平面任一向量的横纵坐标在数轴上投影长度分别为和，并且可以通过矩阵向量乘积计算.

对于非单位向量的投影，由于数轴上的向量仅仅是基向量乘以一个常系数，而此常系数就是向量的长度。所以只需把上述计算结果乘以常数就是两个非单位向量点积的结果，同时其几何意义是向量的长度乘以向量在方向上的投影长度也就非常合理了。

1.3 向量与线性变换

通过上述思考我们发现，从二维空间投影到一维数轴上的线性变换过程，与二维空间中的某一向量是紧密相关的。这种联系通常被称为对偶性。也就是，一个多维空间到一维空间的线性变换的对偶是多维空间中的某个特定向量。

这种关系用公式表达，即，两个向量点乘，就是将其中一个向量转化为线性变换

理解了向量与线性变换的这种紧密关系，我们就可以把向量视为从高维到数轴进行线性变换的一种载体和标记符号。

2. 向量的叉积(cross product)

2.1 二维的叉积

为便于理解，我们可以说在二维空间中，两个向量的叉积就是这两个向量围成的平行四边形的有向面积。

在中，如果在右边，则叉积为正；

如果在左边，如上图，则叉积为负。

所以，叉积顺序影响了结果的正负，即

2.2 向量的叉积和矩阵的行列式

在之前学习行列式的时候，我们知道一个行列式可以用于计算一个矩阵的有向面积。

所以这两个叉积向量放进一个矩阵里求行列式，可以得出相同的结果。

在之前的课程里我们对行列式的算法进行了几何推导。得知行列式的几何意义是一个空间在经过该矩阵所代表的线性变换前后，单位面积的缩放比例。

以上图为例，矩阵代表的线性变换含义是，基向量在空间变换后分别变成了，那么此时原空间中的单位面积就变为了空间中新的面积。

2.3 叉积的真正计算方法

真正的叉积其实是三维空间中两个向量生成另一个向量。

其中的长度依旧是这两个向量所围成的平行四边形的面积，而其方向则垂直于这个平行四边形

具体方向的确定可以使用右手定则：

完整计算过程可使用如下等式表达：

2.4 叉积计算的几何意义

2.4.1 推理过程的说明

2.4.2 平面叉积的外推

按照之前二维叉积的求法，我们可能会认为三维的叉积是三个向量组成的3x3矩阵的行列式，它代表了这三个向量组成的平行六面体的体积。

这并非真正的叉积，但是我们可以通过它想象一个从三维空间到数轴的映射过程

2.4.3 从三维到一维

具体方法是把向量作为固定在空间坐标中的常量，仅第一个向量作为变量在空间中任意改变，这样这个六面体的体积就完全由一个可以改变的向量决定。

也就是说，我们通过函数完成了从三维到一维的映射。

这个函数的几何意义是，对于任一向量，我们可以将它与固定向量组成一个平行六面体，通过计算得到它的体积，然后通过定向确定符号。

2.4.4 叉积的对偶性

通过观察我们可以得知，上述函数是满足线性条件的。也就是说，这个函数代表的是一个线性变换。

因此我们可以用矩阵乘法描述这个函数（线性变换）。

根据线性变换与向量之间的对偶性我们可以得知，从高维到一维的映射是可以用点乘实现的。

也就是说，一个高维空间的向量到数轴的线性变换，可以看做是这个向量和某个特定向量的点积。

我们把这个特殊向量称为。

即，我们需要找到一个特殊向量，使与其他任一向量的点积等于一个3x3矩阵的行列式，而这个矩阵的第一列为，其余两列分别为的坐标。

2.4.5 特殊向量的坐标

求的坐标，也就是求的系数。

根据行列式的计算公式，很容易得到。

对比这个公式与叉积的计算公式，我们可以发现，两者几乎是一模一样的。

所以叉积的计算公式把基向量作为矩阵第一列，其实就是告诉我们，这是在求一个向量，也是就我们上面说的向量。

关于向量

2.4.6 向量的另一几何意义

在学习点积的时候我们知道，两个向量的点积也就是向量投影长度的乘积。

我们把这一概念放到叉积的计算函数中：向量与任一向量的点积，又等于这一未知向量在上的投影长度与的长度的乘积。

换句话说，我们找到的这个(完成了从三维到一维映射的)线性函数对于任一向量的作用，是将这个向量投影到垂直于的直线上，然后将投影长度与张成的平行四边形的面积相乘。

同时我们找到了一个向量，使它与任一向量点乘时，所得结果等于一个3x3矩阵的行列式，这个矩阵的三列分别是以及的坐标。