经典难题（一）
1 、已知：如图， O 是半圆的圆心， C 、 E 是圆上的两点， CD ⊥ AB ， EF ⊥ AB ， EG ⊥ CO ．
求证： CD ＝ GF ．（初二）
2 、已知：如图， P 是正方形 ABCD 内点，∠ PAD ＝∠ PDA ＝ 15 0 ．
求证：四边形 A 2 B 2 C 2 D 2 是正方形．（初二）
求证：∠ DEN ＝∠ F ．
经典难 题（二）
1 、已知：△ ABC 中， H 为垂心（各边高线的交点）， O 为外心，且 OM ⊥ BC 于 M ．
（ 2 ）若∠ BAC ＝ 60 0 ，求证： AH ＝ AO ．（初二）
求证： AP ＝ AQ ．（初二）
3 、如果上题把直线 MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：
求证： AP ＝ AQ ．（初二）
求证：点 P 到边 AB 的距离等于 AB 的一半．（初二）
经典难 题（三）
1 、如图，四边形 ABCD 为正方形， DE ∥ AC ， AE ＝ AC ， AE 与 CD 相交于 F ．
2 、如图，四边形 ABCD 为正方形， DE ∥ AC ，且 CE ＝ CA ，直线 EC 交 DA 延长线于 F ．
3 、设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点， PF ⊥ AP ， CF 平分∠ DCE ．
经典难 题（四）
1 、已知：△ ABC 是正三角形， P 是三角形内一点， PA ＝ 3 ， PB ＝ 4 ， PC ＝ 5 ．
2 、设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且∠ PBA ＝∠ PDA ．
求证：∠ PAB ＝∠ PCB ．（初二）
3 、设 ABCD 为圆内接凸四边形，求证： AB · CD ＋ AD · BC ＝ AC · BD ． 
4 、平行四边形 ABCD 中，设 E 、 F 分别是 BC 、 AB 上的一点， AE 与 CF 相交于 P ，且
AE ＝ CF ．求证：∠ DPA ＝∠ DPC ．（初二）
经典难 题（五）
1 、设 P 是边长为 1 的正△ ABC 内任一点， L ＝ PA ＋ PB ＋ PC ，求证： 
2 、已知： P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一点，求 PA ＋ PB ＋ PC 的最小值．
经典难 题（一）答案
1. 如下图做 GH ⊥ AB, 连接 EO 。由于 GOFE 四点共圆，所以∠ GFH ＝∠ OEG,
即△ GHF ∽ △ OGE, 可得 
2. 如下图做△ DGC 使与△ ADP 全等，可得△ PDG 为等边△，从而可得
△ DGC ≌ △ APD ≌ △ CGP, 得出 PC=AD=DC, 和∠ DCG= ∠ PCG ＝ 15 0
所以∠ DCP=30 0 ，从而得出△ PBC 是正三角形
3. 如下图 连接 BC 1 和 AB 1 分别找其中点 F,E. 连接 C 2 F 与 A 2 E 并延长相交于 Q 点，
连接 EB 2 并延长交 C 2 Q 于 H 点，连接 FB 2 并延长交 A 2 Q 于 G 点，
由 A 2 E= 
∠ GE B 2 + ∠ Q=90 0 , 所以 ∠ GE B 2 = ∠ GFQ 又∠ B 2 FC 2 = ∠ A 2 EB 2 ，
可得 △ B 2 FC 2 ≌ △ A 2 EB 2 ，所以 A 2 B 2 =B 2 C 2 ，
又 ∠ GFQ+ ∠ HB 2 F=90 0 和 ∠ GFQ= ∠ EB 2 A 2 ,
从而可得 ∠ A 2 B 2 C 2 = 90 0 ，
同理可得其他边垂直且相等，
从而得出四边形 A 2 B 2 C 2 D 2 是正方形。
4. 如下图 连接 AC 并取其中点 Q ，连接 QN 和 QM ，所以可得 ∠ QMF= ∠ F ，∠ QNM= ∠ DEN 和∠ QMN= ∠ QNM ，从而得出∠ DEN ＝∠ F 。
经典难 题（二）
1.(1) 延长 AD 到 F 连 BF ，做 OG ⊥ AF,
又∠ F= ∠ ACB= ∠ BHD ，
可得 BH=BF, 从而可得 HD=DF ，
又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM
(2) 连接 OB ， OC, 既得 ∠ BOC=120 0 ，
从而可得 ∠ BOM=60 0 ,
所以可得 OB=2OM=AH=AO,
得证。
3. 作 OF ⊥ CD ， OG ⊥ BE ，连接 OP ， OA ， OF ， AF ， OG ， AG ， OQ 。
由于 
由此可得△ ADF ≌ △ ABG ，从而可得∠ AFC= ∠ AGE 。
又因为 PFOA 与 QGOA 四点共圆，可得∠ AFC= ∠ AOP 和∠ AGE= ∠ AOQ ，
∠ AOP= ∠ AOQ ，从而可得 AP=AQ 。
4. 过 E,C,F 点分别作 AB 所在直线的高 EG ， CI ， FH 。可得 PQ= 
由△ EGA ≌ △ AIC ，可得 EG=AI ，由△ BFH ≌ △ CBI ，可得 FH=BI 。
从而可得 PQ= 
经典难 题（三）
1. 顺时针旋转 △ ADE ，到△ ABG ，连接 CG.
由于 ∠ ABG= ∠ ADE=90 0 +45 0 =135 0
从而可得 B ， G ， D 在一条直线上，可得 △ AGB ≌ △ CGB 。
推出 AE=AG=AC=GC ，可得△ AGC 为等边三角形。
∠ AGB=30 0 ，既得 ∠ EAC=30 0 ，从而可得 ∠ A EC=75 0 。
又 ∠ EFC= ∠ DFA= 45 0 +30 0 = 75 0 .
可证： CE=CF 。
2. 连接 BD 作 CH ⊥ DE ，可得四边形 CGDH 是正方形。
由 AC=CE=2GC=2CH ，
可得∠ CEH=30 0 ，所以 ∠ CAE= ∠ CEA= ∠ AED=15 0 ，
又 ∠ FAE=90 0 +45 0 + 15 0 =150 0 ，
从而可知道 ∠ F=15 0 ，从而得出 AE=AF 。
3. 作 FG ⊥ CD ， FE ⊥ BE ，可以得出 GFEC 为正方形。
令 AB=Y ， BP=X ,CE=Z , 可得 PC=Y-X 。
tan ∠ BAP=tan ∠ EPF= 
即 Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得 X=Z ，得出△ ABP ≌ △ PEF ，
得到 PA ＝ PF ，得证 。
经典难 题（四）
1. 顺时针旋转 △ ABP 60 0 ，连接 PQ ，则 △ PBQ 是正三角形。
可得 △ PQC 是直角三角形。
所以∠ APB=150 0 。
2. 作过 P 点平行于 AD 的直线，并选一点 E ，使 AE ∥ DC ， BE ∥ PC.
可以得出 ∠ ABP= ∠ ADP= ∠ AEP ，可得：
AEBP 共圆（一边所对两角相等）。
可得∠ BAP= ∠ BEP= ∠ BCP ，得证。
3. 在 BD 取一点 E ，使 ∠ BCE= ∠ ACD ，既得△ BEC ∽ △ ADC ，可得：
又 ∠ ACB= ∠ DCE ，可得△ ABC ∽ △ DEC ，既得
由① + ②可得 : AB • CD+AD • BC=AC(BE+DE)= AC · BD ，得证。
4. 过 D 作 AQ ⊥ AE ， AG ⊥ CF ，由 
可得 DQ=DG ，可得∠ DPA ＝∠ DPC （角平分线逆定理）。
经典难 题（五）
1. （ 1 ）顺时针旋转 △ BPC 60 0 ，可得 △ PBE 为等边三角形。
既得 PA+PB+PC=AP++PE+EF 要使最小只要 AP ， PE ， EF 在一条直线上，
即如下图：可得最小 L= 
（ 2 ）过 P 点作 BC 的平行线交 AB,AC 与点 D ， F 。
由于 ∠ APD> ∠ ATP= ∠ ADP ，
推出 AD>AP ①
又 BP+DP>BP ②
和 PF+FC >PC ③
又 DF=AF ④
由①②③④可得：最大 L< 2 ；
由（ 1 ）和（ 2 ）既得： 
2. 顺时针旋转 △ BPC 60 0 ，可得 △ PBE 为等边三角形。
既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要 AP ， PE ， EF 在一条直线上，
即如下图：可得最小 PA+PB+PC=AF 。
既得 AF= 
= 
= 
3. 顺时针旋转 △ ABP 90 0 ，可得如下图：
既得正方形边长 L = 
4. 在 AB 上找一点 F ，使 ∠ BCF=60 0 ，
连接 EF ， DG ，既得 △ BGC 为等边三角形，
可得∠ DCF=10 0 , ∠ FCE=20 0 , 推出 △ ABE ≌ △ ACF ，
得到 BE=CF ， FG=GE 。
推出 ： △ FGE 为等边三角形 ，可得∠ AFE=80 0 ，
既得： ∠ DFG=40 0 ①
又 BD=BC=BG ，既得 ∠ BGD=80 0 ，既得 ∠ DGF=40 0 ②
推得： DF=DG , 得到： △ DFE ≌ △ DGE ，
从而推得：∠ FED= ∠ BED=30 0 。
