1 前言
1.1 场（field）
在物理里，场是一个以时空为变数的物理量。空间中弥漫着的基本相互作用被命名为“场”。场可以分为标量场（scalar field）、向量场（vector field）和张量场（tensor field）等，依据场在时空中每一点的值是标量、向量还是张量而定。更进一步地，在每一范畴（标量、向量、张量）之中，场还可以分为“经典场”和“量子场”两种，依据场的值是数字或量子算符而定。
1.2 四元数
四元数（quaternion）是由爱尔兰数学家威廉·卢云·哈密顿（Hamilton）1843年创立出的数学概念，通常记为H或。如把四元数的集合考虑成多维实数空间的话，四元数则代表着一个四维空间，相对于复数为二维空间。四元数以a+bi+cj+dk的形式说明空间点所在位置，i、j、k作为一种特殊的虚数单位参与运算，并有以下运算规则：
四元数是复数的不可交换延伸。
一个四元数h=a+bi+cj+dk的共轭值定义为，其模为：
四元数的乘逆为：
四元数的矩阵表示：
泡利矩阵：
四元数矩阵：
任意的四元数可以表示为：
1.3 从四元数到算符
单位向量规则 
Hamilton引进符号（称其为"nabla"）来代表向量微分算符（differential vector operators），在笛卡儿坐标中：
设，在四元数运算里：
数学家一时曾对四元数感兴趣，但物理、化学家却不然，上式由一个标量部分和一个三维向量构成，把标量部分（我们称之为f的散度）和向量部分（我们称为f的旋度）分开，分别应用不同的ijk规则，可以得到一些更有用的东西，看出这一点的正是Gibbs。于是，散度（divergence）定义为和向量函数的点积，旋度（curl）定义为和向量函数的叉积：
需要再次强调，ijk规则对于四元数和对于向量是不同的，而向量中对于点积和叉积又是不同的。
2 向量微分算符
2.1 梯度（gradient）
对标量函数的运算产生f的梯度（向量），设f=f(x,y,z)，
2.1.1 方向导数
为考察梯度的物理意义，先回顾一下方向导数的概念。如下图，设函数f(x,y,z)在某一空间内有定义并且可微，令为一个使f(P)等于某个常数k的曲面或点的集合，令为另一个曲面，非常靠近，它使f(P') = k + Δk，则位于点A 的、方向是从A到A'的直线的方向导数为：
与在上取哪一点无关，但导数却与之有关。B是上最接近A的点，当|Δs|极小时，导数将有极大值，即Δs与AB（Δn）重合。若n是从A 指向B的单位长度向量，则n(df(P)/dn) 表示f(P)在大小和方向上的最大空间增加速率，是一个向量，我们称这个向量为f(x,y,z)在A点的梯度。 令为方向上的单位向量，则可以将该方向导数表示成：
当θ=0时，方向导数取到最大值，对应的是df(P)/ds变成df(P)/dn，其大小正是梯度的大小：
位于任何一点的梯度是一个向量，其大小是方向导数在该点可以取到的最大值，在梯度的方向上函数值变化最快。
2.1.2 一些例子
在我们熟悉的情况下：
考虑对的作用（）：
令r方向的单位向量为，则：
在库伦定律中，电势与1/r成正比，可以推出库仑力与距离的平方成正比
对于一般径向势的情形，，
与直觉一致，增加最快的方向是径向方向，其大小为。
2.2 散度（divergence）
2.2.1 连续性方程、管形场
通过考虑任何量（热、电荷、物质等等）通过一个体积元的流，可以看出散度的物理意义。
考虑一个体积元，其一角位于,令J为流过垂直于J的平面的单位面积流速。J沿x轴的分量如下图所示，在x方向上流进面上的流速为，在流出面的流速为，净流出为：
在y、z方向上用同样的方法，得到：
可见向量J的散度是单位体积的净流出体积流速。 若所考虑的物质的密度（不是流密度）是，则单位体积的物质损失速率也可以表示成，此时（v为速度），因此得到恒等式： 上式称为连续性方程，数学上表达了守恒（能量、电荷、物质等）定律。一个不可压缩流体流进和流出某一体积元的速率必相等，这样的流场的散度是零，就说它是管形的（solenoidal），相应的场为管形场/螺线向量场。
若J代表电流密度，即单位时间内流过单位曲面的电荷流，ρ代表某区域内的电荷密度，若电荷流是稳定的，电流密度不变（），则电荷守恒：
2.2.2 一些例子
坐标向量的散度
中心力场散度
利用：
得到：
当时：
2.3 旋度（curl）
2.3.1 无旋向量场
给定向量场B，考虑闭合路径线积分，分为1、2、3、4四段（z=0）： 
如果非零，对应着的非零组分，在小的环路内，线积分与环路面积成正比，单位区域的线积分值称为循环（circulation）（在流体力学中称为涡度（vorticity））。 我们将旋度为零的向量称为无旋（irrotational）的，相应的向量场为无旋向量场。
2.3.2 一些例子
中心力场的旋度（，其中）：
可见中心力场的旋度为0。对于中心力场，力线（the lines of force）是辐射状的，无法形成闭环，相应的，我们发现旋度为零。
非零旋度
考虑，设，则，则：
在该例中，的流线（stream lines）是关于原点的逆时针圆，对应的旋度非零。
3 算符的复合
3.1 一些公式
若f和g是标量函数，A、B、C是向量函数，则下列各式成立：
3.2 的复合
当算符对某一个标量作用两次（）时，就得到了Laplace算符（Laplacian）：
Laplace 算符也可以对向量函数运算，但不像对标量函数的运算那样常见。
，假设一阶偏微分顺序可交换（即的二阶导数是连续的）
当我们写成行列式来记忆旋度运算时，是自上而下相乘的，因此将移到行列式外面是合理的。
从上式可以看出，梯度的旋度为零，梯度是无旋的。
，假设V具有足够的连续性。
从上式可以看出，旋度的散度为零，旋度是管形的。
向量拉普拉斯算符
先推导一下向量的三重积（Vector Triple Product）公式：
推导过程如下：
为列维-奇维塔符号（Levi-Civita symbol）（取值为+1、-1、0，顺序为+1，任意角标交换一次变号）
下面考虑
式中称为向量拉普拉斯算符（vector Laplacian），有时写为，在笛卡尔坐标系（直角坐标系和斜坐标系的统称），是向量，其第i个组分为。尽管公式是一般的，但分解为拉普拉斯算子作用于V的各个组分（）只有在笛卡尔坐标系下才成立。
[1]（美）登斯（J.B.DENCE）. 化学中的数学方法[M]. 王知群.科学出版社, 1981.
[2] ARFKEN G B, WEBER H J, HARRIS F E. Mathematical Methods for Physicists: A Comprehensive Guide[M]. 7th edition. Amsterdam ; Boston: Academic Press, 2012.
[3] wikipedia
