写在前面

在学习数据结构和算法的时候，经常会碰到 O(1),O(n)等等用来表示时间和空间复杂度，那这到底是什么意思。我们对于同一个问题经常有不同的解决方式，比如排序算法就有十种经典排序（快排，归并排序等），虽然对于排序的结果相同，但是在排序过程中消耗时间和资源却是不同。

对于不同排序算法之间的衡量方式就是通过程序执行所占用的时间和空间两个维度去考量。

高中数学

函数

设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。记作：y=f(x)，x∈A。其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。

例：已知 f(x)的定义域为[3,5],求*f(2x-1)*的定义域。

幂函数

指数函数

对数函数

时间复杂度

若存在函数 f(n)，使得当 n 趋近于无穷大时，T(n)/ f(n)）的极限值为不等于零的常数，则称 f(n)是 T(n)的同数量级函数。记作 T(n)= O(f(n))，称 O(f(n))为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

简单理解就是一个算法或是一个程序在运行时，所消耗的时间（或者代码被执行的总次数）。

在下面的程序中：

int sum(int n) {
① int value = 0;
② int i = 1;
③ while (i <= n) {
④ value = value + i;
⑤ i++;
}
⑥ return value;
}

假设n=100，该方法的执行次数为①(1次)、②（1次）、③（100次）、④（100次）、⑤（100次）、⑥（1次）
合计1+1+100+100+100+1 = 303次

上面的结果如果用函数来表示为：f(n) = 3n+3，那么在计算机算法中的表示方法如下。

表示方法

大 O 表示法：算法的时间复杂度通常用大 O 来表示，定义为 T(n) = O(f(n))，其中 T 表示时间。

即：T(n) = O(3n+3)

这里有个重要的点就是时间复杂度关心的是数量级，其原则是：

省略常数，如果运行时间是常数量级，用常数 1 表示

保留最高阶的项

变最高阶项的系数为 1

如 2n ³ + 3n² + 7，省略常数变为 O(2n ³ + 3n²)，保留最高阶的项为 O(2n ³ )，变最高阶项的系数为 1 后变为 O(n ³ )，即 O(n ³ )为 2n ³ + 3n² + 7 的时间复杂度。

同理，在上面的程序中 T(n) = O(3n+3)，其时间复杂度为 O(n)。

注：只看最高复杂度的运算，也就是上面程序中的内层循环。

时间复杂度的阶

时间复杂度的阶主要分为以下几种

常数阶 O(1)

int n = 100;
System.out.println(“常数阶：” + n);

不管 n 等于多少，程序始终只会执行一次，即 T(n) = O(1)

对数阶 O(logⁿ)

// n = 32 则 i=1,2,4,8,16,32
for (int i = 1; i <= n; i = i * 2) {
System.out.println(“对数阶：” + n);
}

i 的值随着 n 成对数增长，读作 2 为底 n 的对数，即 f(x) = log₂ⁿ，T(n) = O( log₂ⁿ)，简写为 O(logⁿ)

则对数底数大于 1 的象限通用表示为：

线性阶 O(n)

for (int i = 1; i < n; i++) {
System.out.println(“线性阶：” + n);
}

n 的值为多少，程序就运行多少次，类似函数 y = f(x)，即 T(n) = O(n)

线性对数阶 O(nlogⁿ)

for (int m = 1; m <= n; m++) {
int i = 1;
while (i < n) {
i = i * 2;
System.out.println(“线性对数阶：” + i);
}
}

线性对数阶 O(nlogⁿ)其实非常容易理解，将对数阶 O(logⁿ)的代码循环 n 遍的话，那么它的时间复杂度就是 n * O(logⁿ)，也就是了 O(nlogⁿ)，归并排序的复杂度就是 O(nlogⁿ)。

若 n = 2 则程序执行 2 次，若 n=4,则程序执行 8 次，依次类推

平方阶 O(n²)

for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
System.out.println(“平方阶：” + n);
}
}

若 n = 2，则打印 4 次，若 n = 3，则打印 9，即 T(n) = O(n²)

同理，立方阶就为 O(n³)，如果 3 改为 k，那就是 k 次方阶 O(n^k)，相对而言就更复杂了。

以上 5 种时间复杂度关系为：

从上图可以得出结论，当 x 轴 n 的值越来越大时，y 轴耗时的时长为：

O(1) < O(logⁿ) < O(n) < O(nlogⁿ) < O(n²)

在编程算法中远远不止上面 4 种，比如 O(n³)，O(2ⁿ)，O(n!)，O(n^k)等等。

这些是怎么在数学的角度去证明的，感兴趣的可以去看看主定理。

注：以下数据来自于Big-O Cheat Sheet，常用的大 O 标记法列表以及它们与不同大小输入数据的性能比较。

常见数据结构操作的复杂度

数组排序算法的复杂度
空间复杂度
空间复杂度表示的是算法的存储空间和数据之间的关系，即一个算法在运行时，所消耗的空间。

空间复杂度的阶
空间复杂度相对于时间复杂度要简单很多，我们只需要掌握常见的 O(1)，O(n)，O(n²)。

常数阶 O(1)
int i;

线性阶 O(n)
int[] arr;

平方阶 O(n²)
int[][] arr;

总结

写这篇文章的目的在于，我在更新栈和队列的时候，留下了一个问题栈的入栈和出栈操作与队列的插入和移除的时间复杂度是否相同，确实是相同的 ，都用了 O(1)。由此我想到，对于刚开始或者说是不太了解复杂度的同学，碰到此类的问题，或者是我在跟后续数据结构和算法文章的时候不懂，十分的不友好，于是就写了一篇关于复杂 度的文章。

本文只对时间复杂度和空间复杂度做了简单介绍，有错误可以指正，不要硬杠，杠就是我输。