作者
digoal
日期
2021-04-14
标签
PostgreSQL , 亲和数
背景
什么是亲和数:
如果两个数a和b，a的所有除本身以外的因数之和等于b，b的所有除本身以外的因数之和等于a，则称a,b是一对亲和数。
https://baike.baidu.com/item/%E4%BA%B2%E5%92%8C%E6%95%B0
- 320年左右，古希腊毕达哥拉斯发现的220与284，是人类认识的第一对相亲数。 [3]
- 约850年，阿拉伯数学家塔别脱·本·科拉就发现了相亲数公式，后来称为塔别脱·本·科拉法则。
- 1636年，费马发现了另一对相亲数：17296和18416。
- 1638年，笛卡儿也发现了一对相亲数：9363584和9437056。
- 欧拉也研究过相亲数这个课题。1750年，他一口气向公众抛出了60对相亲数：2620和2924，5020和5564，6232和6368，……，从而引起了轰动。
- 1866年，年方16岁的意大利青年巴格尼尼发现1184与1210是仅仅比220与284稍为大一些的第二对相亲数。
- 目前，人们已找到了12,000,000多对相亲数。但相亲数是否有无穷多对，相亲数的两个数是否都是或同是奇数，或同是偶数，而没有一奇一偶等，这些问题还有待继续探索。
首先发现220与284就是一对亲和数，在以后的1500年间，世界上有很多数学家致力于探寻亲和数，面对茫茫数海，无疑是大海捞针，虽经一代又一代人的穷思苦想，有些人甚至为此耗尽毕生心血，却始终没有收获。公元九世纪，伊拉克哲学、医学、天文学和物理学家泰比特·依本库拉曾提出过一个求亲和数的法则，因为他的公式比较繁杂，难以实际操作，再加上难以辨别真假，故它并没有给人们带来惊喜，或者走出困境。数学家们仍然没有找到第二对亲和数。直到费尔马(P．de Fermat，1601-1665)才发现了另一对亲和数：17296和18416。
十六世纪，已经有人认为自然数里就仅有这一对亲和数。有一些无聊之士，甚至给亲和数抹上迷信色彩或者增添神秘感，编出了许许多多神话故事。还宣传这对亲和数在魔术、法术、占星术和占卦上都有重要作用等等。
亲和数的表达公式:
关于后一项工作，早在9世纪，阿拉伯的学者泰比特(TabitibnQorra)就提出了一个构造亲和数的公式：
设 a=3*2^(x-1)-1, b=3*2^x-1,c=9*2^(2x-1)-1，这里x是大于1的自然数，如果a、b、c全是素数的话。那么2*x*ab与2*x*c。便是一对相亲和数。
例如，取x=2,得a=5,b=11,c=71,则2*2*5*11=220和2*2*71=284是一对亲和数。
```
postgres=# select (select row(n,sum(i)) r from generate_series(1,n-1) i where mod(n,i)=0) from generate_series(2,300) n;
r
(2,1)
(3,1)
(4,3)
(5,1)
(6,6)
(7,1)
(8,7)
(9,4)
(10,8)
(11,1)
(12,16)
(13,1)
(14,10)
(15,9)
...
(220,284)
...
(284,220)
...
```
使用CTE 暴力计算, 例如计算100000以内的数有没有亲和数:
```
create type fm as (x int, y int);
with a as
(select (select row(n,sum(i)) r from generate_series(1,n-1) i where mod(n,i)=0) from generate_series(2,100000) n)
select t1,t2 from
a t1 join a t2
on
(t1.r::text::fm).x=(t2.r::text::fm).y
and
(t1.r::text::fm).y=(t2.r::text::fm).x
and
(t1.r::text::fm).x <> (t1.r::text::fm).y ;
t1 | t2复制
-------------------+-------------------
("(220,284)") | ("(284,220)")
("(284,220)") | ("(220,284)")
("(1184,1210)") | ("(1210,1184)")
("(1210,1184)") | ("(1184,1210)")
("(2620,2924)") | ("(2924,2620)")
("(2924,2620)") | ("(2620,2924)")
("(5020,5564)") | ("(5564,5020)")
("(5564,5020)") | ("(5020,5564)")
("(6232,6368)") | ("(6368,6232)")
("(6368,6232)") | ("(6232,6368)")
("(10744,10856)") | ("(10856,10744)")
("(10856,10744)") | ("(10744,10856)")
("(12285,14595)") | ("(14595,12285)")
("(14595,12285)") | ("(12285,14595)")
("(17296,18416)") | ("(18416,17296)")
("(18416,17296)") | ("(17296,18416)")
("(63020,76084)") | ("(76084,63020)")
("(66928,66992)") | ("(66992,66928)")
("(66992,66928)") | ("(66928,66992)")
("(67095,71145)") | ("(71145,67095)")
("(69615,87633)") | ("(87633,69615)")
("(71145,67095)") | ("(67095,71145)")
("(76084,63020)") | ("(63020,76084)")
("(79750,88730)") | ("(88730,79750)")
("(87633,69615)") | ("(69615,87633)")
("(88730,79750)") | ("(79750,88730)")
(26 rows)
```
或者使用公式计算
判断是否为素数(质数)?
create or replace function zs(numeric) returns boolean as $$
select count(*) <= 2 from (select 1 from generate_series(1,$1) t where mod($1,t)=0) t;
$$ language sql strict;
with t as (
select
x, 3*2^(x-1)-1 a, 3*2^x-1 b, 9*2^(2*x-1)-1 c from generate_series(2,100::numeric) as t(x)
) select a,b,c,2*x*a*b,2*x*c from t where zs(a) and zs(b) and zs(c);
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