python实现之一阶二阶导数

函数的和、差、积、商的求导法则

u=u(x),v=v(x)

(u+v)'=u'+v'

(u-v)'=u'-v'

(Cu)'=Cu'

(uv)'=u'v+uv'

(u/v)'=(u'v-uv')/v^2

复合函数求导法则

y=f(u)，u=φ(v)

复合函数y=f[φ(v)]的导数为

dy/dx=dy/du*du/dx=f'(u)*φ'(v)

(u-v+z)'=u'-v'+z'，且(Cu)'=Cu'

exam1:

y =2*x*^3 -5*x^2+3*x-7

y'=6*x^2-10x+3+0

exam2:

f(x)=x^3+4cosx-sin(π/2)

f'(x)=(x^3)‘+(4cosx)‘-(sin(π/2))‘=3x^2-4sinx-0

f'(π/2)=f'(x)|x=(π/2)=3x^2-4sinx=3*(π/2)^2-4sin(π/2)=3/4π^2-4

exam3:

y=√x*lnx

y'=(√x)'*lnx+√x*(lnx)'=1/(2*√x)*lnx+√x*1/x=1/(√x)*(1/2*lnx+1)

exam4:

y=e^x(sinx+cosx)

y'=(e^x)'(sinx+cosx)+e^x(sinx+cosx)'=e^x(sinx+cosx)+e^x(cosx-sinx)=2e^xcosx

高阶导数

y=f(x)

y'=f'(x)

y''=(y')'=d^2y/dx^2=d/dx(dy/dx)

导数的应用：函数单调性

通过函数的导数的值，可以判断出函数的单调性、驻点以及极值点：

若导数大于0，则单调递增；

若导数小于0，则单调递减；

导数等于零d的点为函数驻点

曲线的凹凸性，设函数f(x) 在区间I 上有二阶导数

(1) 在 I 内 f''(x)>0则 f(x)在 I 内图形是凹的 ;

(2) 在 I 内 f''(x)<0则 f(x)在 I 内图形是凸的 .

#!/usr/bin/env python# -*- coding: UTF-8 -*-#                     _ooOoo_#                   o8888888o#                    88" . "88#                 ( | -  _  - | )#                     O\ = O#                 ____/`---'\____#                  .' \\| |// `.#                  \\|||:|||// \#                _|||||-:- |||||- \#                | | \\\ -  | |#              | \_| ''\---/'' | _/ |#               \ .-\__ `-` ___/-. #            ___`. .' --.--\ `. . __#         ."" '< `.___\_<|>_/___.' >'"".#       | | : `- \`.;`\  _ `;.`/ - ` : | |#          \ \ `-. \_ __\ __ _/ .-`  #      ==`-.____`-.___\_____/___.-`____.-'==#                     `=---=''''@Project ：pythonalgorithms @File ：Nderivatives.py@Author ：不胜人生一场醉@Date ：2021/8/3 1:17 '''import matplotlib.pyplot as pltimport numpy as npimport mathimport sympyif __name__ == '__main__':    nderivativeplot()

# f(x)=x^3+3x^2-24x-20# f'(x)=3x^2+6x-24# f''(x)=6x+6def nderivativeplot():    plt.figure(figsize=(5, 8))    ax = plt.gca()  # 通过gca:get current axis得到当前轴    plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 绘图中文    plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 绘图负号    x = np.linspace(-10,10, 200)    y = np.power(x,3)+3*np.power(x,2)-24*x-20    yd = 3*np.power(x,2)+6*x-24    ydd=6*x+6    label = '函数f(x)=x^3+3x^2-24x-20的曲线'    plt.plot(x, y, label=label)    label = "导数f'(x)=3x^2+6x-24的曲线"    plt.plot(x, yd, label=label)    label = "导数f''(x)=6x+6的曲线"    plt.plot(x, ydd, label=label)    # 设置图片的右边框和上边框为不显示    ax.spines['right'].set_color('none')    ax.spines['top'].set_color('none')

    # 挪动x，y轴的位置，也就是图片下边框和左边框的位置
    # data表示通过值来设置x轴的位置，将x轴绑定在y=0的位置
    ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0))
    # axes表示以百分比的形式设置轴的位置，即将y轴绑定在x轴50%的位置
    # ax.spines['left'].set_position(('axes', 0.5))
    ax.spines['left'].set_position(('data', 0))
    plt.title("函数、一阶导数、二阶导数")
    plt.legend(loc='upper right')
    plt.show()