布尔和他的逻辑代数.pdf
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2023 第14卷第3期 数学文化
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en of Mathematics
数学人物
M
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从 0 和 1 开始
大家都认同 ：我们生活在一个信息时代。
但你可能会问，怎样表达信息呢？
用 0 和 1 呗，十七世纪的德国人莱布尼茨早已回答了这个问题 。
就用 0 和 1 ？这么简单，你怎么去计算信息呀？
这容易，十九世纪的英国人布尔笑了：0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 0。
好吧，但你怎么做逻辑运算去处理信息呢？
噢，二十世纪的美国人香农说他有办法：这逻辑运算嘛，可以用“与”（and）、
“或”（or）、“ 非 ”（ not）三个基本“门电路”，把它们如下对应起来加以执行
就可以了 ：
• 1 and 1 = 1 ；1 or 1 = 1 ；not 1 = 0 ；
• 1 and 0 = 0 ；0 and 0 = 0 ；
• 1 or 0 = 1 ；0 or 0 = 0 ；
• not 0 = 1
哇，这些都有了，你马上明白 ：只要有“开”（代表 1）和“关”（代表 0）
这两种基本操作的器件，电脑便能够表示、存储、传输和计算信息了！
2
布尔的生平故事
科学和技术的发展通常都经过许多人的承传接力，上面说的信息技术也不
例外。不过，我们这里只讲布尔的故事。
乔治 • 布尔（George Boole, 1815 年 11 月 2 日
−
1864 年 12 月 8 日）出生
布尔和他的逻辑代数，还有诗
陈关荣
纯数学是由布尔在一部他
称之为思维规律的著作中
发现的
——伯特兰 • 罗素
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数学文化 第14卷第3期 2023
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于英格兰的林肯郡郡府林肯市（镇）
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。父亲约翰是个颇为穷困的鞋匠，但对
科学和算术有业余爱好，母亲玛丽安 • 乔伊斯是个佣人。布尔有一个妹妹玛丽
安妮和两个弟弟威廉及查尔斯。
布尔自幼表现出对古典语言的特别兴趣，父亲便请一位卖书的朋友教了他
一点拉丁文。布尔接着自学了一些希腊语，后来还自学了法语、德语和意大利语。
布尔 14 岁时就读于林肯镇的一间技校（Bainbridge Commercial Academy），
但 16 岁就因家境困窘而辍学，此后余生再也没有机会进入任何学校读书。他
幻想过当一名牧师，但后来父亲生意衰落，他作为长子便担负起了支撑全家生
活的责任。他到离家很远的唐卡斯特（Doncaster）镇找到一份工作，当一名
小学助理教师。好处是，他有些课余时间可以自行学习和研究数学。据他自己
解释，当年没有多少钱买书，而数学书可以慢慢看。据说他星期天做礼拜时还
在看数学书，被认为是对神不敬，两年后就被解雇了。19 岁的布尔回到老家
林肯镇开办了一间小小寄宿学校，从事初等教育。
在林肯镇，布尔经常走访一家机械学院。该学院的院长是爱德华 • 布罗姆
黑德爵士（Sir Edward Bromhead），他曾在剑桥大学学习数学并促成了剑桥
本科生的分析学会成立。自从认识了布尔之后，这位热心的数学爵士就介绍
并借给了布尔一些法国著名数学家的著作。林肯镇 Staint Swithin 教堂的迪克
森（George S. Dickson）牧师也送给了布尔一本由法国学院数学主席西尔维
斯特 • 拉克鲁瓦（Sylvestre F. Lacroix）写的微积分教科书（
Traité de calcul
différentiel et de calcul intégral
, 1797）。这个时候，他自学的法语派上了用场。
几年间，布尔广泛涉猎了牛顿、拉格朗日、拉普拉斯、泊松等数学家的论文和
著作，做了大量的读书笔记，并写下了一篇题为“关于变分法的某些定理”（On
certain theorems in the calculus of variations）的数学研究草稿。
1839 年，24 岁的布尔在《剑桥数学杂志》发表了生平第一篇数学论文“解
析变换理论研究”（
Researches in the theory of analytical transformations
）。 该
论文颇得杂志首任主编邓肯 • 格雷戈里（Duncan F. Gregory）赏识，两人从此
结为挚友。之后，布尔先后在该杂志及其系列《剑桥
−
都柏林数学杂志》上发
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牛顿也出生在林肯郡，与布尔的故乡近在咫尺。
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表了 22 篇论文。其中，布尔 1841 年发表的论文
Exposition of a general theory
of linear transformations
被爱尔兰数学家乔治 • 萨尔蒙（George Salmo）认
为是关于多项式代数与几何变换之不变理论的奠基之作，其理论在后来的半
个世纪里由乔治 • 凯 莱（Arthur Cayley）和詹姆士 • 西尔维斯特（James J.
Sylvester）等一批数学家加以完备和发展。
1844 年，布尔凭发表在《伦敦皇家学会学刊》的优秀论文“关于分析的一
般方法”（
On a general method in analysis
）荣获英国皇家学会数学金质奖章。该
论文提出了符号逻辑概念，发展了满足微分算子的形式代数规则并将之应用于微
分方程求解以及级数求和的解析表达。皇家学会的颁奖词中说 ：“他的方法可以
在科学领域中找到永久立足之地。”
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这篇得奖文章送审时有一位审稿人明确主张
退稿，而另一位审稿人是爱丁堡大学的数学教授菲利普 • 凯兰（Philip Kelland）。
他慧眼识珠，提交了如下的评语 ：“我很荣幸皇家学会把这篇论文推荐给我审阅，
我也很幸运地立即意识到它的重要性。我建议学会给予它一个认可的记录。”
1847 年，布尔出版了他第一本 86 页的小书《逻辑的数学分析》（
The
Mathematical Analysis of Logic
），建立了逻辑和代数的联系，并由此引进了符
号逻辑代数。在引言中他写道 ：“我的目的是建立一种逻辑微积分，并且我可
以宣称，它在公认的数学分析形式中占有一席之地，尽管它目前作为对象和工
具都仍然是孤独的。”
在 1846 年，英国物理学家开尔文（Lord Kelvin William Thomson）向爱
尔兰皇后大学科克分校（Ireland Queen's University Cork）推荐了布尔，这
一提名还获得了德 • 摩 根（ Augustus De Morgan）、查 尔 斯 • 格雷夫斯（Charles
Graves）以及前面提到的亚瑟 • 凯莱和菲利普 • 凯兰等几位大数学家的鼎力支
持。经过历时三年的遴选，1849 年，没有学历的 34 岁的布尔最终获得了皇
后学院的聘书，成为该校第一位数学教授。当年，数理逻辑学家德 • 摩根的
评语写道 ：“我可以自信地说，他不仅精通最高水平的数学，而且具有扩展它
们的内在力量，这使得非常受人尊敬的他在今天英国创新者中名列前茅。”数
学教授菲利普 • 凯兰在推荐信中写道 ：“从他观念的独创性和知识的广度及准
确性来说，我认为在欧洲很少有人能超越他……”。
布尔到皇后学院任教后，进一步整理了他关于逻辑和代数的分析工作。
为了确保自己的数学理论能反映人的心理活动规律，他花了大量时间去阅读
心理学文献，去熟悉哲学家们对逻辑思维的认知和评论。布尔希望他的新代
数能够包含亚里士多德对人类推理的见解以及斯多葛哲学派（Stoicism）的命
题演算，并试图遵循德国哲学和数学家莱布尼茨的思想将逻辑化为方程式去
求解。布尔强调数学的本质不在于探究数学对象的内容，而在于研究其形式，
并且他坚信数学可以用符号来表示。
1851 年，布尔被皇后学院任命为科学院长（Dean of Science）。
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His method would find a permanent place in the science.
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