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授课主题 空间向量解决立体几何问题
教学目的
把立体几何问题转化为空间向量的运算问题．
教学重点
使用空间向量的方法进行空间角和距离等问题的计算
教学内容
直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法
设直线 l，m 的方向向量分别为 a＝(a
1
，b
1
，c
1
)，b＝(a
2
，b
2
，c
2
)．平面 α、β 的法向量分别
为 μ＝(a
3
，b
3
，c
3
)，v＝(a
4
，b
4
，c
4
)(以下相同)．
(1)线面平行
l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a
1
a
3
＋b
1
b
3
＋c
1
c
3
＝0.
(2)线面垂直
l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a
1
＝ka
3
，b
1
＝kb
3
，c
1
＝kc
3
.
(3)面面平行
α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a
3
＝λa
4
，b
3
＝λb
4
，c
3
＝λc
4
.
(4)面面垂直
α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·v＝0⇔a
3
a
4
＋b
3
b
4
＋c
3
c
4
＝0.
空间角的计算
(1)两条异面直线所成角的求法
设直线 a，b 的方向向量为 a，b，其夹角为 θ，则
cos φ＝|cos θ|＝(其中 φ 为异面直线 a，b 所成的角)．
(2)直线和平面所成角的求法
如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 α 的法向量为 n ，直线 l 与平面 α 所成的角为 φ，
两向量 e 与 n 的夹角为 θ，则有 sin φ＝|cos θ|＝.
(3)二面角的求法
①利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如图所示，〈m，n〉即为所求二面角的
平面角．
②对于易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可以利用这两个平面的法
向量的夹角来求．
如图所示，二面角 αlβ，平面 α 的法向量为 n
1
，平面 β 的法向量为 n
2
，〈n
1
，n
2
〉＝θ，则二
面有 αlβ 的大小为 θ 或 πθ.
空间距离的计算
直 线 到 平 面 的 距 离 ， 两
平行平面的距离均可转化为点到平面的距离．
点 P 到平面 α 的距离，d＝(其中 n 为 α 的法向量，M 为 α 内任一点)．
必备方法
1．空间角的范围
(1)异面直线所成的角(θ)：0＜θ≤；
(2)直线与平面所成的角(θ)：0≤θ≤；
(3)二面角(θ)：0≤θ≤π.
2．用向量法证明平行、垂直问题的步骤：
(1)建立空间图形与空间向量的关系(可以建立空间直角坐标系，也可以不建系)，用空间向
量表示问题中涉及的点、直线、平面；
(2)通过向量运算研究平行、垂直问题；
(3)根据运算结果解释相关问题．
3．空间向量求角时考生易忽视向量的夹角与所求角之间的关系：(1)求线面角时，得到的是
直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦，而不是线面角的余弦；
(2)求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析
一、
多以多面体(特别是棱柱、棱锥)为载体，求证线线、线面、面面的平行或垂直，其中逻辑推
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