正态总体的样本均值与样本方差的分布定理

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• 引理

• 定理一

• 定理二

• 定理三

• 定理四

引理

1. 设总体(不管服从什么分布，只要均值和方差存在)的均值为，方差为，是来自的一个样本， 分别是样本均值和样本方差，则有

   
   

2. 正态分布线性可加性: 若，且他们相互独立，则他们的线性组合:，(是不全为的常数)仍然服从正态分布，且有

   
   

3. 维正态随机变量重要性质

   维正态随机变量的每一个分量都是正态随机变量，反之，若都是正态随机变量，且相互独立，则是维正态随机变量

   维随机变量服从维正态分布的充要条件是的任意线性组合

   服从一维正态分布(其中不全为零)

   
   

   若服从维正态分布，设是的线性函数，则也服从多维正态分布，这一性质称为正态变量的线性变换不变性

    设服从维正态分布，则”相互独立”与”两两不相关“是等价的。

定理一

• 设是来自正态总体的样本，是样本均值，则有

  
  

  证明很简单，由引言1可知，

  而 ， 服从正态分布，则根据引理2可知，

  
  

定理二

• 设是来自正态总体的样本， 分别是样本均值和样本方差，则有

  和相互独立

  证明:

  ❝

  为了方便，我们令 ，由于 ，因此

  且 ，则

  取一个阶正交矩阵，其第一行元素均为

  对做正交变换 ，有

  由于 ，因此仍服从正态分布，由 可知

  又由

  由此可知 两两互不相关。又由于维随机变量是由维随机变量经线性变换得到，因此也是维正态随机变量，由「引理3性质4」可知，两两互不相关也即是互相独立。前面已经计算出 因此

  此时有

  由于相互独立，且 ，因此

  
  

  其次， 仅跟有关，而 仅依赖于 ，又因为相互独立，因此有和相互独立

  ❞

定理三

• 设是来自正态总体的样本， 分别是样本均值和样本方差，则有

  
  

  证明：

  ❝

  由定理一可知，

  进行标准化之后有

  由定理二可知，

  根据分布定义有

  
  

  证明完毕

  ❞

定理四

• 设与是来自正态总体和的样本，且这两个样本 相互独立. 设 分别是这两个样本的样本均值；分别是两个样本的样本方差，则有

  当时，

  
  

  其中

  证明:

  ❝

  由定理二可知

  
  

  此时有

  
  

  即

  由式和，以及分布的可加性可知

  
  

  由可知，

  
  

  由定理一可知

  因此 ，对其进行标准化有

  由式可知

  
  

  即

  
  

  证明完毕

  ❞