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1. 随机变量
2. 离散型随机变量
3. 离散型随机变量常见分布
1. 随机变量
设随机试验的样本空间为 . 是定义在样本空间 上的实值单值函数。称 为「随机变量」
2. 离散型随机变量
定义： 全部可能取到的值为有限个或可列无限多个，这种随机变量称为「离散型随机变量」
❝
骰子的点数，打靶环数，某城市 120 急救电话一昼夜收到的呼叫次数，都是离散型随机变量
❞设离散型随机变量 所有可能取的值为 ， 取各个可能值的概率，即事件 的概率，为
我们称该式为离散型随机变量的分布律
性质：
「」❝
稍后介绍常见分布的时候， 这个的证明很简单，不在赘述，我会给出 的必要性证明。
❞
3. 离散型随机变量常见分布
3.1 分布
设随机变量可能的取值只有 和 ，它的分布律为 「」 ,记做 服从以 为参数的 「分布」或「两点分布」
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|---|---|---|
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❝新生儿性别，抛硬币，产品质量是否合格 等可以用 分布的离散型随机变量来表示
❞
3.2 二项分布
设试验 只有两种可能结果： 及 ,则称 为「伯努利试验」 。 设 .
将 独立重复地进行 次， 则称这一连串独立的重复试验为 「重伯努利试验」
❝
例如，抛硬币， 表示正面，这就是伯努利试验，将硬币抛 次，就是 重伯努利试验。 掷骰子， 表示等到 点， 表示得到的是非 点，也叫一次伯努利试验等
❞以 表示 重伯努利试验中，事件 发生的次数， 表示事件 发生的概率， 表示 不发生的概率(即 发生的概率) ，则有
❝
必要性证明 ：
二项式：
❞我们发现 刚好是 展开式中出现 的那一项，因此，我们称随机变量 服从以 为参数的「二项分布」，记做
3.3 泊松分布
设随机变量 的可能取值为 而各个取值的概率为 其中 为常数，则称 服从以 为参数的「泊松分布」，记做
❝
必要性证明 ：
其中 证明如下，需要用到泰勒公式
泰勒公式:
如果函数 在 的某个邻域 内具有 阶导数，那么对任一 有
即 当 时，有
此时有
为关于 的高阶无穷小，则
❞
❝一本书一页中的印刷错误数，某医院在一天内的急诊病人数，某一个地区一个时间间隔内发生交通事故的次数等均服从泊松分布
❞
「泊松定理」 设 是一个常数， 是任意正整数，设 ,则对于任一固定的非负整数 ，有
❝证明如下 ：
❞
该定理说明，当 很大， 很小时，二项分布可用泊松分布近似 即
❝
一般地，当 时，即可用泊松分布来近似计算二项分布
❞
3.4 几何分布
在伯努利试验中，记每次试验中事件 发生的概率为 ，试验进行到事件 出现时停止，此时所进行的试验次数为 ，其分布率为 , 则称 服从 为参数的几何分布，记作
❝
必要性证明：
❞
几何分布用来描述 次伯努利试验中，事件 首次发生的概率
3.5 超几何分布
在产品质量的「不放回」抽检中，若 件产品中有 件次品，抽检 件时所得次品数 ，此时有
称 服从以 为参数的超几何分布，记做
❝
必要性证明 :
范德蒙恒等式：
证明比较简单，用二项展开式即可：
根据式(1)和式(2)对应项系数相等，可以知道关于 范德蒙恒等式的证明方式有很多，感兴趣的可以查看相关资料
❞当 时，超几何分布可用二项分布近似计算，此时有
❝
证明如下：
首先我们要明确要证明的等式是 当 时 ，即 .
❞需要注意的是，前面我们说到，计算二项分布时，可用泊松分布近似，因此在利用二项分布近似计算超几何分布时，可根据情况，对二项分布使用泊松进行分布进行近似计算
