python实现之初等函数三——三角函数

三角函数在python和numpy中实现的不够全面，主要包括cos, cosh, sin sinh, tan, tanh三角函数和arccos, arccosh, arcsin, arcsinh, arctan, arctanh反三角函数，cot,sec,csc,arccot,arcsec,arccsc均为提供，不过可以通过其他函数进行组合或变形得以实现。

三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。

反三角函数是一种基本初等函数。它是反正弦arcsin x，反余弦arccos x，反正切arctan x，反余切arccot x，反正割arcsec x，反余割arccsc x这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切 ，正割，余割为x的角

#!/usr/bin/env python# -*- coding: UTF-8 -*-#                     _ooOoo_#                   o8888888o#                    88" . "88#                 ( | -  _  - | )#                     O\ = O#                 ____/`---'\____#                  .' \\| |// `.#                  \\|||:|||// \#                _|||||-:- |||||- \#                | | \\\ -  | |#              | \_| ''\---/'' | _/ |#               \ .-\__ `-` ___/-. #            ___`. .' --.--\ `. . __#         ."" '< `.___\_<|>_/___.' >'"".#       | | : `- \`.;`\  _ `;.`/ - ` : | |#          \ \ `-. \_ __\ __ _/ .-`  #      ==`-.____`-.___\_____/___.-`____.-'==#                     `=---=''''@Project ：pythonalgorithms @File ：trigonometric.py@Author ：不胜人生一场醉@Date ：2021/7/26 23:28 '''import matplotlib.pyplot as pltimport numpy as npimport mathimport mpl_toolkits.axisartist as axisartist  # 导入坐标轴加工模块# 三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。# 也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，# 也是研究周期性现象的基础数学工具。# 在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。# 正弦函数 ：y =sin x# 正弦（sine），数学术语，在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA（由英语sine一词简写得来），即sinA=∠A的对边/斜边。# 余弦函数 ：y =cos x# 余弦（余弦函数）。在Rt△ABC（直角三角形）中，∠C=90°（如概述图所示），∠A的余弦是它的邻边比三角形的斜边，即cosA=b/c，也可写为cosa=AC/AB。余弦函数：f(x)=cosx（x∈R）# 平方和关系# （sinα）^2 +（cosα）^2=1# 积的关系# sinα = tanα × cosα（即sinα  cosα = tanα ）# cosα = cotα × sinα （即cosα  sinα = cotα）# tanα = sinα × secα (即 tanα  sinα = secα)# 倒数关系# tanα × cotα = 1# sinα × cscα = 1# cosα × secα = 1# 商的关系# sinα  cosα = tanα = secα  cscα# 和角公式# sin ( α ± β ) = sinα · cosβ ± cosα · sinβ# sin ( α + β + γ ) = sinα · cosβ · cosγ + cosα · sinβ · cosγ + cosα · cosβ · sinγ - sinα · sinβ · sinγ# cos ( α ± β ) = cosα cosβ ∓ sinβ sinα# tan ( α ± β ) = ( tanα ± tanβ )  ( 1 ∓ tanα tanβ )# 倍角半角公式# sin ( 2α ) = 2sinα · cosα [1]# sin ( 3α ) = 3sinα - 4sin & sup3 ; ( α ) = 4sinα · sin ( 60 + α ) sin ( 60 - α )# sin ( α  2 ) = ± √( ( 1 - cosα )  2)# 级数展开# sin x = x - x3  3! + x5  5! - ... ( - 1 ) k - 1 * x 2 k - 1  ( 2k - 1 ) ! + ... ( - ∞ < x < ∞ )# 导数# （ sinx ） ' = cosx# （ cosx ) ' = ﹣ sinxif __name__ == "__main__":   sincosfunction()   tanctnfunction()   seccscfunction()   arcsincosfunction()   arccscfunction()

def sincosfunction():   plt.figure(figsize=(10, 5))   ax = plt.gca()  # 通过gca:get current axis得到当前轴   plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 绘图中文   plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 绘图负号   x = np.linspace(-np.pi*2, np.pi*2, 200)   y = np.sin(x)   label = 'np.sin(x)'   plt.plot(x, y, label=label)   y = np.cos(x)   label = 'np.cos(x)'   plt.plot(x, y, label=label)   y = np.power(np.sin(x),2)   label = 'np.sin(x)^2'   plt.plot(x, y, label=label)   y = np.power(np.cos(x),2)   label = 'np.cos(x)^2'   plt.plot(x, y, label=label)   y = np.power(np.cos(x), 2)+np.power(np.sin(x),2)   label = 'np.sin(x)^2+np.cos(x)^2'   plt.plot(x, y, label=label)   # 设置图片的右边框和上边框为不显示   ax.spines['right'].set_color('none')   ax.spines['top'].set_color('none')   # 挪动x，y轴的位置，也就是图片下边框和左边框的位置   # data表示通过值来设置x轴的位置，将x轴绑定在y=0的位置   ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0))   # axes表示以百分比的形式设置轴的位置，即将y轴绑定在x轴50%的位置   # ax.spines['left'].set_position(('axes', 0.5))   ax.spines['left'].set_position(('data', 0))   plt.title("sin&cos三角指数")   plt.legend(loc='upper right')   plt.show()

# 正切函数 ：y =tan x# 余切函数 ：y =cot xdef tanctnfunction():   #np.tan()   plt.figure(figsize=(10, 8))   plt.subplot(1, 2, 1)   ax = plt.gca()  # 通过gca:get current axis得到当前轴   plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 绘图中文   plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 绘图负号   x = np.append(np.linspace(-np.pi*3/2+0.01, -np.pi/2-0.01, 120),np.linspace(-np.pi/2+0.01, np.pi/2-0.01, 120))   x = np.append(x,np.linspace(np.pi/2+0.01, np.pi*3/2-0.01, 120))   y = np.tan(x)   label = 'np.tan(x)'   plt.plot(x, y, label=label)   # 设置图片的右边框和上边框为不显示   ax.spines['right'].set_color('none')   ax.spines['top'].set_color('none')   # 挪动x，y轴的位置，也就是图片下边框和左边框的位置   # data表示通过值来设置x轴的位置，将x轴绑定在y=0的位置   ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0))   # axes表示以百分比的形式设置轴的位置，即将y轴绑定在x轴50%的位置   # ax.spines['left'].set_position(('axes', 0.5))   ax.spines['left'].set_position(('data', 0))   plt.title("tan三角指数")   plt.legend(loc='upper right')   plt.subplot(1, 2, 2)   ax = plt.gca()  # 通过gca:get current axis得到当前轴   plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 绘图中文   plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 绘图负号   x = np.append(np.linspace(-np.pi+ 0.01, - 0.01, 120),              np.linspace( 0.01, np.pi - 0.01, 120))   y = 1/np.tan(x)   label = 'np.ctn(x)'   plt.plot(x, y, label=label)   # 设置图片的右边框和上边框为不显示   ax.spines['right'].set_color('none')   ax.spines['top'].set_color('none')   # 挪动x，y轴的位置，也就是图片下边框和左边框的位置   # data表示通过值来设置x轴的位置，将x轴绑定在y=0的位置   ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0))   # axes表示以百分比的形式设置轴的位置，即将y轴绑定在x轴50%的位置   ax.spines['left'].set_position(('axes', 0.5))   #ax.spines['left'].set_position(('data', 0))   plt.title("ctan三角指数")   plt.legend(loc='upper right')   plt.show()

# 正割函数 ：y =sec x = 1/cos(x)# 余割函数 ：y =csc x = 1/sin(x)def seccscfunction():   plt.figure(figsize=(10, 5))   ax = plt.gca()  # 通过gca:get current axis得到当前轴   plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 绘图中文   plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 绘图负号   #x = np.linspace(-np.pi*2, np.pi*2, 200)   x = np.append(np.linspace(-np.pi * 3 / 2 + 0.01, -np.pi - 0.01, 120),              np.linspace(-np.pi + 0.01, -np.pi  2 - 0.01, 120))   x = np.append(x, np.linspace(-np.pi  2 + 0.01,  - 0.01, 120))   x = np.append(x, np.linspace(0.01, np.pi   2 - 0.01, 120))   x = np.append(x, np.linspace(np.pi  2 + 0.01, np.pi  - 0.01, 120))   x = np.append(x, np.linspace(np.pi + 0.01, np.pi * 3 / 2 - 0.01, 120))   y = 1/np.sin(x)   label = 'np.csc(x)'   plt.plot(x, y, label=label)   y = 1/np.cos(x)   label = 'np.sec(x)'   plt.plot(x, y, label=label)   # 设置图片的右边框和上边框为不显示   ax.spines['right'].set_color('none')   ax.spines['top'].set_color('none')   # 挪动x，y轴的位置，也就是图片下边框和左边框的位置   # data表示通过值来设置x轴的位置，将x轴绑定在y=0的位置   ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0))   # axes表示以百分比的形式设置轴的位置，即将y轴绑定在x轴50%的位置   # ax.spines['left'].set_position(('axes', 0.5))   ax.spines['left'].set_position(('data', 0))   plt.title("csc&sec三角指数")   plt.legend(loc='upper right')   plt.show()

ef arcsincosfunction():   plt.figure(figsize=(5, 10))   ax = plt.gca()  # 通过gca:get current axis得到当前轴   plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 绘图中文   plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 绘图负号   x = np.linspace(-1, 1, 200)   y = np.arcsin(x)   label = 'np.arcsin(x)'   plt.plot(x, y, label=label)   y = np.arccos(x)   label = 'np.arccos(x)'   plt.plot(x, y, label=label)   # 设置图片的右边框和上边框为不显示   ax.spines['right'].set_color('none')   ax.spines['top'].set_color('none')   # 挪动x，y轴的位置，也就是图片下边框和左边框的位置   # data表示通过值来设置x轴的位置，将x轴绑定在y=0的位置   ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0))   # axes表示以百分比的形式设置轴的位置，即将y轴绑定在x轴50%的位置   # ax.spines['left'].set_position(('axes', 0.5))   ax.spines['left'].set_position(('data', 0))   plt.title("arcsin&arccos三角指数")   plt.legend(loc='upper right')   plt.show()

# 反正切函数#  正切函数y=tan x在（-π/2，π/2）上的反函数，叫做反正切函数。记作arctanx，表示一个正切值为x的角，该角的范围在（-π/2，π/2）区间内。#  定义域R，值域（-π/2，π/2）。#   numpy.arctan()# 反余切函数#  余切函数y=cot x在（0，π）上的反函数，叫做反余切函数。记作arccotx，表示一个余切值为x的角，该角的范围在（0，π）区间内。#  定义域R，值域（0，π）。# 反正割函数#   正割函数 ：y =sec x = 1/cos(x)#  正割函数y=sec x在[0，π/2）U（π/2，π]上的反函数，叫做反正割函数。记作arcsecx，表示一个正割值为x的角，该角的范围在[0，π/2）U（π/2，π]区间内。#  定义域（-∞，-1]U[1，+∞），值域[0，π/2）U（π/2，π]。# 反余割函数#   余割函数 ：y =csc x = 1/sin(x)#  余割函数y=csc x在[-π/2，0）U（0，π/2]上的反函数，叫做反余割函数。记作arccscx，表示一个余割值为x的角，该角的范围在[-π/2，0）U（0，π/2]区间内。#  定义域（-∞，-1]U[1，+∞），值域[-π/2，0）U（0，π/2]。def arccscfunction():   plt.figure(figsize=(10, 5))
   ax = plt.gca()  # 通过gca:get current axis得到当前轴
   plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 绘图中文
   plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 绘图负号
   x = np.append(np.linspace(0.01, np.pi / 2 - 0.01, 120),
              np.linspace(np.pi/2+0.01, np.pi  - 0.01, 120))
   y = 1/np.cos(x)
   # 正割函数 sec(x)=1/cos(x)
   # 反正割函数 颠倒x,y值即可
   label = 'np.arcsecx(x)'
   plt.plot(y, x, label=label)

   # 设置图片的右边框和上边框为不显示
   ax.spines['right'].set_color('none')
   ax.spines['top'].set_color('none')

   # 挪动x，y轴的位置，也就是图片下边框和左边框的位置
   # data表示通过值来设置x轴的位置，将x轴绑定在y=0的位置
   ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0))
   # axes表示以百分比的形式设置轴的位置，即将y轴绑定在x轴50%的位置
   # ax.spines['left'].set_position(('axes', 0.5))
   ax.spines['left'].set_position(('data', 0))
   plt.title("arcsin&arccos三角指数")
   plt.legend(loc='upper right')
   plt.show()

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