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1. 协方差
2. 相关系数
1. 协方差
定义
量 称为随机变量与的「协方差」。 记为 ,即
由定义很容易知道 我们在介绍方差时，有性质往往使用下面的式子计算协方差的值
性质
为常数
❝
证明
❞
❝
证明
❞
2. 相关系数
定义
协方差反映了变量之间的某种线性关系，但是这个关系结果会受到度量单位的影响，举个简单的例子，表示一些人的身高， 表示这些人的体重，我们想知道身高和体重的关系，如果身高使用单位为，当体重用和时会得到数值完全不同的关系数值，为了消除这种影响，我们需要对随机变量 进行标准化就可以了，则令，此时有
我们称
为随机变量与的「相关系数」性质
❝
证明：
考虑以的线性函数 来近似表示， 以均方误差 来表示以近似表达的好坏程度，很明显，越小，说明与的近似程度越高，由此我们的目标变为计算均方误差的最小值 。求解过程如下
将 分别对求偏导并令它们等于，得到
很容易解得 （方程组中式式），
❞
十分推荐这种方法来证明 ，原因是这种证明方式，很清楚的表达了 的含义，当较大时，均方误差 较小，表示的「线性关系」越紧密。不仅如此，该证明方式还给出了，均方误差 最小时，的取值，也就很明确了随机变量之间的线性关系。
❝
证明方法二：
利用柯西施瓦兹不等式进行证明，对于两个随机变量，若存在，则
这个不等式称为「柯西施瓦兹不等式」我们先证明这个不等式：
令
则必然成立，即有 恒成立，这里将 看做是关于的抛物线，高中知识就知道，要满足抛物线大于等于成立，需要 即 恒成立，因此柯西施瓦兹不等式得到证明。
下面利用柯西施瓦兹不等式证明
我们要利用柯西施瓦兹不等式进行证明，因此考虑两边同时取平方，此时有
❞
的充要条件是存在常数使
❝
证明
已知
我们在证明性质 时知道，
由方差性质可知，有 即
存在常数使
已知存在常数,设为 使 。
由方差性质可知，
令 ， 应满足 即
由性质可知，此时有 成立
❞该性质表明随机变量之间 以概率存在着线性关系，当 较大时，通常说的线性相关程度较好；反之，则说的线性相关程度较差
特殊的相关系数值
当 时，表示 没有线性关系，注意这里是没有线性关系，没有说不可以有非线性关系 当 时，表示 正相关 当 时，表示 完全正相关 当 时，表示 负相关 当 时，表示 完全负相关 相关与独立
两个变量独立，此时有 所以有,即 「独立一定不相关」
两个随机变量不相关，此时虽然有 但却不一定独立。字面理解的话，就是 当 时，表示 没有线性关系，注意这里是没有线性关系，没有说不可以有非线性关系
下面给出一个两个随机变量不相关，也不独立的例子，加深理解
由表格可知
因此随机变量 并不独立。
特例，设 服从二维正态分布，记作,其中 均为 常数，且 则的不相关与独立是等价的
❝
证明
服从二维正态分布，则
因此，我们知道二维正态分布的边缘分布为一维正态分布，有
也就是说，二维正态随机变量的概率密度中的参数 就是随机变量的相关系数，因此，二维正态随机变量可由各自的数学期望，方差和相关系数所确定。若不相关，即，将其带入 刚好得到 ，则相互独立。因此对于二维正态随机变量来说，不相关与独立是等价的。
❞
