数据库的关系代数运算是软件评测师考试的重要考点，经常出现在上午场的客观选择题当中。关系操作的特点是操作对象和操作结果都是集合，常见的关系代数运算包括并、差、交、笛卡尔积、除、选择、投影和连接等。下面就该知识点并结合例题进行总结学习。
一、并运算
（1）定义：设关系R和S具有相同的关系模式，R和S的并是由属于R或属于S的元组组成的集合，记为R∪S。
（2）形式：R∪S={t｜t∈R∨t∈S}，图示如下：
（3）实例：
二、交运算
（1）定义：设关系R和S具有相同的关系模式，R和S的交是由既属于R又属于S的元组组成的集合，记为R∩S。
（2）形式：R∩S={t｜t∈R∧t ∈S}，图示如下：
（3）实例：
三、差运算
（1）定义：设关系R和S具有相同的关系模式，R和S的差是由属于R但不属于S的元组组成的集合，记为R-S。
（2）形式：R-S={t｜t∈R∧t ∉ S}，图示如下：
（3）实例：
四、笛卡尔积运算
（1）定义：设关系R和S列数分别为n和m。R和S的笛卡尔积是一个（n+m）列的元组集合，每个元组的前r列来自R的一个元组，后s列来自S的一个元组，记为R×S。
（2）形式：
说明：上面的
表示元组
和
拼接成的一个元组。
如果R和S中有相同的属性名，可在属性名前加关系名作为限定，以示区别。若R有K1个元组，S有K2个元组，则R和S的广义笛卡儿积有（K1*K2）个元组。
图示如下：
（3）实例：
五、选择运算
（1）定义：选择操作在关系R中选择满足给定条件所有元组。最终是筛选符合条件的行。
（2）形式：
说明：其中F(t)表示选择条件，是一个逻辑表达式，具体可以看下面的实例。
（3）实例：
六、投影运算
（1）定义：投影操作从关系R中选择出若干属性列组成新的关系，该操作对关系进行垂直分割，消去某些列，并重新安排列的顺序。其实就是选择制定的列，没有指定的列被舍弃。
（2）形式：
说明：其中A为R投影出去的属性列，t.A表示t元组中属性子集A所对应的列组成的子元组。
（3）实例：
七、连接运算
（1）定义：连接运算是从两个关系R和S的笛卡儿积中选取满足条件的元组。这里主要说一下等值连接和自然连接。
（2）等值连接：从两个关系R和S上选择指定属性列且值相等的行，一般会具体指定两个关系中的某一列，结果为对应列值相等的元组。等值连接在考试中很少出现，主要考自然连接。
实例：
（3）自然连接：两个关系中的比较的列必须是相同的属性组，并且在结果中把重复的属性列去掉。自然连接是一种特殊的等值连接，一般的连接操作是从行的角度进行运算，自然连接还需要消除重复的列。
实例：
八、除运算
（1）定义：设2个关系R和S的列数分别为r和s（设r>s>0），那么R÷S是一个（r-s）元的元组的集合。其实就是找关系R中对应关系S的部分，然后选取除了该部分之外的列，考试中很少涉及到，了解一下即可。
（2）实例1：
（3）实例2：
近三年该知识点没考过，大家结合以下两个练习题练习一下即可。
巩固练习题
（1）假设关系R1和R2如图所示，若进行R1 ⨝ R2运算，则结果集分别为（ 1 ）元关系，共有（ 2 ）个元组。
1、A、4 B、5 C、6 D、7
2、A、4 B、5 C、6 D、7
（1）解析：本题考查数据库系统中关系代数运算方面的基础知识。
根据题意，R1⨝R2为自然联接，自然联接是一特殊的等值联接，它要求两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性，并且在结果集中将重复属性列去掉，R2.C和R2.D去掉，故结果为A、B、R1.C、R1.D、E、和F共计6元关系。故第一空的正确答案为：C。
第二空比较的条件为“R1.C=R2.C并且同时满足R1.D=R2.D”，从下表所示的R1XR2的结果集中可见，共有4个元组满足条件，分别是第3个、第4个、第5个和第9个元组，故第二空的正确答案为：A。
（2）若关系R、S如下图所示，则R与S自然连接后的属性列数和元组个数分别为（ 1 ）；
=（ 2 ）。
1、A、4和3 B、4和6 C、6和3 D、6和6
2、A、πA，D（σC=D（R×S））
B、πA，R.D（σS.C=R.D（R×S））
C、πA，R.D（σR.C=S.D（R×S））
D、πR.A，R.D（σS.C=S.D（R×S））
（2）解析：本题考查关系运算方面的基础知识，根据自然连接要求，两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组，并且在结果中将重复属性列去掉，故R⨝S后的属性列数为4。同时，自然连接是一种特殊的等值连接，即R关系中的C、D属性与S关系中的C、D属性进行等值连接，并去掉重复属性列，其结果为：
A | B | C | D |
a | b | c | d |
a | d | g | f |
a | b | g | f |
可见R⨝S后的元组个数为3，因此第一空的正确答案是A。
R×S的6个属性列为：A、B、R.C、R.D、S.C和S.D。σ3=6 (R×S)表示R与S关系进行笛卡儿积后，选取第3个属性等于第6个属性的元组，即选取R.C等于S.D的元组。π1,4(σ3=6(R×S))表示从σ3=6 (R×S)的结果中投影第1个和第4个属性列，即投影A和R.D属性列，因此第二空的正确答案是C。
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写于2021年9月15日
作者：昊洋讲师
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